數(shù)學(xué)輔導(dǎo)與訓(xùn)練高三_高中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)頭腦：函數(shù)與方程頭腦在數(shù)列中的應(yīng)用
高中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)頭腦：函數(shù)與方程頭腦在數(shù)列中的應(yīng)用
函數(shù)頭腦和方程頭腦是學(xué)習(xí)數(shù)列的兩大精髓.“從基本量出發(fā)，知三求二.”這是方程頭腦的體現(xiàn).而“將數(shù)列看成一種特殊的函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于n的函數(shù).”則蘊(yùn)含了數(shù)列中的函數(shù)頭腦.借助有關(guān)函數(shù)、方程的性子來解決數(shù)列問題，常能起到化難為易的功效。以下是小編給人人帶來的方程頭腦在數(shù)列上的應(yīng)用，僅供考生閱讀。
本文枚舉幾例分類剖析：
一、方程頭腦
知三求二
等差(或等比)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式集中了等差(或等比)數(shù)列的五個(gè)基本元素ad(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)數(shù)列最基本的題型，通過解方程的方式到達(dá)解決問題的目的.
例差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知aa(求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(若Sn=求n的值.
解(由aa=
aa=
解得a
由于n∈N*，以是n=
轉(zhuǎn)化為基本量
在等差(等比)數(shù)列中，若是求得ad(q)，那么其它的量立刻可得.
例等比數(shù)列{an}中，已知aaa求{an}的前的和S
解aaaq=(
由a(a得a±
將a―入(，
得q―舍去);
將a入(，得q=±
當(dāng)q=，aS
當(dāng)q=―，a―S
加減消元法行使Sn求an
行使Sn求an是求通項(xiàng)公式的一種主要方式，著實(shí)這種方式就是方程頭腦中加減消元法的運(yùn)用.
例佛山二模)已知數(shù)列{an}、{bn}中，對(duì)任何正整數(shù)n都有：
aaa…+an―n―anbn=(n―?+
若數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為公比為等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解將等式左邊看成Sn，令
Sn=aaa…+an―n―anbn.
依題意Sn=(n―?+(
又組織Sn―aaa…+an―n―(n―?―(
兩式相減可得
Sn―Sn―an?bn=n?―n≥.
又由于數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為
bn=―
以是an=n (n≥.
當(dāng)n=由題設(shè)式子可得a相符an=n.
從而對(duì)一切n∈N*，都有an=n.
以是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n.
等差、等比的綜合問題
這一類的綜合問題往往照樣回歸到數(shù)列的基本量去確立方程組.
例{an}是公比大于等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S且aa成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解憑證求和界說和等差中項(xiàng)確立關(guān)于aaa方程組.
由已知得aaa
(a+(a
解得a設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，
由a可得a，a.
又S可知+=
即+0，
解得qq
由題意得q>以是q=
可得a
從而數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=―
二、函數(shù)頭腦
數(shù)列是一類界說在正整數(shù)或它的有限子集上的特殊函數(shù).可見，任何數(shù)列問題都蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征.如一次、二次函數(shù)的性子、函數(shù)的單調(diào)性、周期性等在數(shù)列中有普遍的應(yīng)用.如等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
an=a(n―d=dn+(ad)，
前n項(xiàng)和的公式
Sn=nan(n―
=d(adn，
當(dāng)d≠0時(shí)，可以看作自變量n的一次和二次函數(shù).因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)充實(shí)行使函數(shù)有關(guān)知識(shí)，以它的觀點(diǎn)、圖象、性子為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁，展現(xiàn)了它們間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有用地剖析數(shù)列問題.
運(yùn)用函數(shù)剖析式解數(shù)列問題
在等差數(shù)列中，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可用研究二次函數(shù)的方式舉行解題.
例差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，且SS求S并求出當(dāng)n為何值時(shí)Sn有最大值.
剖析顯然公差d≠0，以是Sn是n的二次函數(shù)且無(wú)常數(shù)項(xiàng).
解設(shè)Sn=anbn(a≠0)，則
,戴氏教育高三歷史沖刺機(jī)構(gòu)小班組輔導(dǎo) 1名教師輔導(dǎo)3-6位學(xué)生，讓每個(gè)學(xué)生都被關(guān)注和照顧，學(xué)習(xí)氣氛濃厚，多人一起互動(dòng)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)樂趣。,a×b×
a×b×
解得a=―
b=
以是Sn=―.
從而S―/p>
=―
函數(shù)Sn=―的對(duì)稱軸為
n=
由于n∈N*，
以是n=Sn有最大值.
行使函數(shù)單調(diào)性解數(shù)列問題
通過組織函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證實(shí)數(shù)列的單調(diào)性.
例知數(shù)列{an}中an=ln(n)n (n≥，求證an>an+
解設(shè)f(x)=ln(x)x(x≥，
則f ′(x)=xx―ln(x)x 由于x≥
以是xx
以是f ′(x)<0.
即f(x)在[+∞)上是單調(diào)減函數(shù).
故當(dāng)n≥，an>an+
例知數(shù)列{an}是公差為等差數(shù)列，bn=anan.
(若a―求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值;
(若對(duì)隨便的n∈N*，都有bn≤b立，求a取值局限.
(剖析最大、最小是函數(shù)的一個(gè)特征，一樣平?？梢詮难芯亢瘮?shù)的單調(diào)性入手，用來研究函數(shù)最大值或最小值的方式同樣適用于研究數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).
解由題設(shè)易得an=n―
以是bn=――
由bn=―――
可考察函數(shù)f(x)=―單調(diào)性.
當(dāng)x<，f(x)為減函數(shù)，
且f(x)<
當(dāng)x>，f(x)為減函數(shù)，
且f(x)>
以是數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為b最小項(xiàng)為b―
(剖析由于對(duì)隨便的n∈N*，都有bn≤b立，本題現(xiàn)實(shí)上就是求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng).
由于bn=―a
故可以考察函數(shù)f(x)=―a形態(tài).
解由題，得an=n―a
以是bn=―a
考察函數(shù)f(x)=―a
當(dāng)x 且f(x)< 當(dāng)x>a，f(x)為減函數(shù)， 且f(x)> 以是要使b最大項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)lt;alt; 以是a取值局限是―br> 例列{an}中aaaanan+n+n+an+an+an+an+anan+n+立.試求Saa…+a值. 剖析從遞推式不易直接求通項(xiàng)，考察前幾項(xiàng)aaaaaaaaa…可展望該數(shù)列是以周期的周期數(shù)列. 解由已知 兩式相減得 通過上述實(shí)例的剖析與說明，我們可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)重視方程函數(shù)頭腦的滲透，應(yīng)該把函數(shù)觀點(diǎn)、圖象、性子有機(jī)地融入到數(shù)列中，通過數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的相互交匯，使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以不停優(yōu)化與完善，同時(shí)也使學(xué)生的頭腦能力得以不停生長(zhǎng)與提高. 高中數(shù)學(xué)頭腦方式先容，高中數(shù)學(xué)解題頭腦方式與解說 數(shù)學(xué)頭腦，是指現(xiàn)實(shí)天下的空間形式和數(shù)目關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)由頭腦流動(dòng)而發(fā)生的效果。數(shù)學(xué)頭腦是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)由歸納綜合后發(fā)生的本質(zhì)熟悉;基本數(shù)學(xué)頭腦則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最普遍的數(shù)學(xué)頭腦，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)頭腦的精髓和現(xiàn)代數(shù)學(xué)頭腦的基本特征，而且是歷史地生長(zhǎng)著的。通過數(shù)學(xué)頭腦的培育，數(shù)學(xué)的能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)頭腦，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。 數(shù)學(xué)頭腦方式是對(duì)數(shù)學(xué)及紀(jì)律的理性熟悉，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)熟悉，是數(shù)學(xué)熟悉歷程中提煉上升的數(shù)學(xué)看法方式。學(xué)生大腦中若不蘊(yùn)含數(shù)學(xué)頭腦方式，會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏自主性，往往就成為離不開西席這個(gè)拐棍的被動(dòng)學(xué)習(xí)者，學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)不能用數(shù)學(xué)頭腦方式有用毗鄰，支離破碎。以是，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大腦有了數(shù)學(xué)頭腦，學(xué)習(xí)才有偏向?qū)б?，心中有了明確偏向，才氣自動(dòng)思索，才有利于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的熟悉，才氣知道若何去思索息爭(zhēng)決問題。 轉(zhuǎn)化與化歸頭腦： 是把那些待解決或難明決的問題化歸到已有知識(shí)局限內(nèi)可解問題的一種主要的基本數(shù)學(xué)頭腦.這種化歸應(yīng)是等價(jià)轉(zhuǎn)化，即要求轉(zhuǎn)化歷程中的前因結(jié)果應(yīng)是充實(shí)需要的，這樣才氣保證轉(zhuǎn)化后所得效果仍為原題的效果. 高中數(shù)學(xué)中新知識(shí)的學(xué)習(xí)歷程，就是一個(gè)在已有知識(shí)和新觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上舉行化歸的歷程.因此，化歸頭腦在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在. 化歸頭腦在解題教學(xué)中的的運(yùn)用可歸納綜合為：化未知為已知，化難為易，化繁為簡(jiǎn).從而到達(dá)知識(shí)遷徙使問題獲得解決.但若化歸欠妥也可能使問題的解決陷入逆境. 例證 邏輯劃分頭腦(即分類與整合頭腦)： 是當(dāng)數(shù)學(xué)工具的本質(zhì)屬性在局部上有差異點(diǎn)而又未便化歸為單一本質(zhì)屬性的問題解決時(shí)，而憑證其差異點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)膭澐殖叨确诸惽蠼?，并綜合得出謎底的一種基本數(shù)學(xué)頭腦.但要注重按劃分尺度所分種種間應(yīng)知足相互傾軋，不重復(fù)，不遺漏，最精練的要求. 在解題教學(xué)中常用的劃分尺度有：按界說劃分;按公式或定理的適用局限劃分;按運(yùn)算規(guī)則的適用條件局限劃分;按函數(shù)性子劃分;按圖形的位置和形狀的轉(zhuǎn)變劃分;按結(jié)論可能泛起的差異情形劃分等.需說明的是： 有些問題既可用分類頭腦求解又可運(yùn)用化歸頭腦或數(shù)形連系頭腦等將其轉(zhuǎn)化到一個(gè)新的知識(shí)環(huán)境中去思量，而制止分類求解.運(yùn)用分類頭腦的要害是尋找引起分類的緣故原由和找準(zhǔn)劃分尺度. 例證 函數(shù)與方程頭腦(即聯(lián)系頭腦或運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變的頭腦)： 就是用運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)變的看法去剖析研究詳細(xì)問題中的數(shù)目關(guān)系，抽象其數(shù)目特征，確立函數(shù)關(guān)系式，行使函數(shù)或方程有關(guān)知識(shí)解決問題的一種主要的基本數(shù)學(xué)頭腦. 數(shù)形連系頭腦： 將數(shù)學(xué)問題中抽象的數(shù)目關(guān)系顯示為一定的幾何圖形的性子(或位置關(guān)系);或者把幾何圖形的性子(或位置關(guān)系)抽象為適當(dāng)?shù)臄?shù)目關(guān)系，使抽象頭腦與形象頭腦連系起來，實(shí)現(xiàn)抽象的數(shù)目關(guān)系與直觀的詳細(xì)形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，從而使隱藏的條件晴朗化，是化難為易，探索解題頭腦途徑的主要的基本數(shù)學(xué)頭腦. 整體頭腦： 處置數(shù)學(xué)問題的著眼點(diǎn)或在整體或在局部.它是從整體角度出發(fā)，剖析條件與目的之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對(duì)應(yīng)關(guān)系，相互聯(lián)系及轉(zhuǎn)變紀(jì)律，從而找出最優(yōu)解題途徑的主要的數(shù)學(xué)頭腦.它是控制論，信息論，系統(tǒng)論中“整體—部門—整體”原則在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn).在解題中，為了便于掌握和運(yùn)用整體頭腦，可將這一頭腦歸納綜合為：記著已知(用過哪些條件?尚有哪些條件未用上?若何締造時(shí)機(jī)把未用上的條件用上?)，想著目的(向著目的步步推理，需要時(shí)可行使圖形標(biāo)示出已知和求證);看聯(lián)系，抓轉(zhuǎn)變，或化歸;或數(shù)形轉(zhuǎn)換，追求解答.一樣平常來說，整體局限看得越大，解法可能越好. 在整體頭腦指導(dǎo)下，解題技巧只需記著已知，想著目的， 步步準(zhǔn)確推理就夠了. 中學(xué)數(shù)學(xué)中尚有一些數(shù)學(xué)頭腦，如：
行使函數(shù)周期性解數(shù)列問題
